数值分析

引论

基本概念

误差：近似值和实际值（精确值）的差别。
误差限：误差的限度。是误差绝对值的“上界”。
相对误差：误差除以实际值乘以100%。相对误差较小时，可除以近似值。
相对误差限：相对误差的限度。相对误差限小则近似程度好。
有效数字：一个数中，可供判断精度的数字。若近似值x*的绝对误差限是某一位上的半个单位，且该位直到x*的第一位非零数字一共有n位，则称它有n位有效数字，或精确到该位（比如精确到0.1，0.0001）。
经过四舍五入得到的近似数：有效数字可以通过四舍五入判定原则直观地数出来的数。

有效数字位数的三种判定方法

通过定义（绝对误差）判定：计算出近似值的绝对误差，再取一个最小的某一位上的半个单位的绝对误差限，即可得到精度。

【例】绝对误差=0.008<0.05，说明绝对误差限可取0.05=0.5/10，精确到0.1。
通过四舍五入原则判定：若近似值是由精确值四舍五入得到的，可采用这种判定方法。

【例】3.1415926，3.14由小数点后第3位四舍五入得到，则3.14精确到小数点后第二位，从这一位到前面第一个不等于0的数都是3.14的有效数字。
通过相对误差限判定有效数字的位数：近似值边界判定+绝对误差判定=>有效数字位数。

有效数字与相对误差限的关系

（公式是记不住的，推导=绝对误差判断方法+近似值边界判定。）

利用有效数字估算绝对误差限，结合$a_1$确定近似值的下界，相除，以近似值估计相对误差。

近似值$x^{＊}=±0.a_1a_2…a_n×10^m$，其有n位有效数字，$a_1≠0$，则其相对误差限为$\frac{1}{2a_1}×10^{-n+1}$。
结合$a_1$确定近似值的上界，相乘，得到绝对误差限，借此判断有效数字位数。

近似值$x^{＊}=±0.a_1a_2…a_n×10^m$，$a_1≠0$，其相对误差限为$\frac{1}{2a_1+1}×10^{-n+1}$，则其有n位有效数字。

误差限的估计公式

已知x,y的绝对或相对误差限，求f(x,y)的绝对或相对误差限。

（仅写出绝对误差限公式，相对误差的公式直接由此推导就好了，记不住的）

加减运算：x和y的加减结果的绝对误差限=x的误差限+y的误差限。

$$
|(x^{＊}±y^{＊})-(x±y)|≤|x^{＊}-x|+|y^{＊}-y|
$$

☆☆☆乘除运算：绝对误差限较小时的估计方式（为简化结果）——

$$
η(x^{＊}y^{＊})≈|x^{＊}|η(y^{＊})+|y^{＊}|η(x^{＊})
$$

$$
\eta (\frac{x^{＊}}{y^{＊}})≈\frac{|x^{＊}|η(y^{＊})+|y^{＊}|η(x^{＊})}{|y^{＊}|^2},y≠0,y^{＊}≠0
$$

近似计算中的原则

保留位数原则

加减运算：小数位

计算时：把近似数中小数位数较多的数四舍五入，使其比小数位数最少的数多一位。
计算结果：保留的小数位数与原近似数中小数位数最少者相同。
乘除运算：有效数字
计算时：因子保留的位数应比有效数字位数最少者的位数多一位。
计算结果：有效数位数与原近似值中有效数字位数最少者至多少一位。
乘方与开方运算：有效数字
计算结果：有效数字位数与原近似值的有效数字位数相同。
对数运算：有效数字
计算结果：有效数字位数与其真数（被对数运算的数）的有效数字位数相同。
中间计算过程
应比上述保留位数原则所提及的位数多取一位，在进行最后一次计算时这一位要舍入。
原始数据选取
加减运算：小数位应比计算结果要求的多一位。
上述其他运算：有效数字位数应比计算结果要求的多一位。

其他原则

避免两个相近的数相减：有效数字损失。
避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法：舍入误差增大。
要防止“大数”吃掉“小数”：数量级相差过大时小数在计算过程中被舍入（比如计算机内计算时加减法要对阶）。
要尽可能减少运算次数：减小累积误差。
重点应用
求误差限
已知经过四舍五入得到的近似数（或误差限），求它们的四则运算结果的误差限：利用有效数字数量可以反过来估算一个绝对误差限。再结合近似值的上下界可进一步估算相对误差限。
算术运算
保留位数原则的利用。
利用近似原则分析运算优劣。
仅在选择、判断常见的内容

计算方法的研究方法

“离散化”方法：将连续变量问题转化为离散变量问题。
“递推”方法：将复杂问题转化为简单问题的重复。
“近似替代”方法：将不能用有限计算解决的问题转化为较简单的有限计算问题。

误差的来源（需要具备判断误差种类的能力）

模型误差：问题理想化。
观测误差：原始数据观测误差。
☆截断误差：计算是有限次带来的误差。
☆舍入误差：参与计算的数长度有限带来的误差。
为什么要引入误差限的概念？
答：因为精确值一般未知，误差只能在一定范围内研究，而这个范围就叫做误差限。由于研究范围是不惟一的，误差限也具有不惟一性。

插值方法

两个插值惟一性

均可用反证法证明。

插值多项式的存在惟一性：n+1个数据对应的次数不高于n的代数多项式存在且惟一。
Hermite插值多项式的惟一性：满足给定条件的Hermite插值多项式惟一。

Lagrange插值公式

插值基函数$l_n(x)$：次数为n的、以$x_{1} ～ x_{n}$为零点、在$x_0$处为1的函数。
Lagrange公式：函数值乘以基函数。
Lagrange余项：反复求导用Rolle定理得到。

$$
f(x)-p_n(x)=\frac{f^{n+1}(ξ)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^{n}(x-x_i)
$$

Newton插值公式

插值基函数$\varphi_n(x)$：$(x-x_0)$到$(x-x_{n-1})$的乘积。
Newton公式：差商乘以基函数。
☆Newton余项：

$$
f(x)-N_n(x)=f[x,x_0,···,x_{n}]\varphi _n(x)
$$

k阶差商：

$$
f[x_0,x_1,···,x_k]=\frac{f[x_0,···,x_{k-1}]-f[x_1,···,x_{k}]}{x_0-x_k}
$$

☆k阶差商表示形式二：该表示形式承袭性弱。

用数学归纳法可证。（证明方式由差商的定义形式可知）

$$
f[x_0,x_1,···,x_k]=\sum_{j=0}^{k}\frac{f(x_j)}{\omega ‘_k(x_j)},\omega ‘k(x_j)=\prod^k{i=0,i≠j}(x-x_i)
$$

表达形式二可推出：
- 差商的对称性：差商的值与节点的排列顺序无关。
- 数据点越多的、带x数据项的差商的x幂次反而越低。

Hermite插值

仅讨论一阶导数值和函数值给定的情况。
插值基函数$\varphi _n(x)$和$\Psi _n(x)$：与Lagrange基函数构造思路一致。

区别：根据导数条件构造的基函数与根据函数值构造的基函数符号相异。
Hermite公式：函数或导数值乘以基函数。
Hermite基函数的多项式系数计算方法：
- 按照定义构造式子，解线性方程组死算。
- 根据承袭性。比如已知$x_0,x_2,···,x_n$对应的函数值，并知道某些点的导数值(比如知道$x_0,x_1$的)，则可以构造函数，$p_n(x)$是Lagrange或者Newton求出来的多项式，分别求解$p_n(x)$和$a_i$。

$$
H_{n+2}(x)=p_{n}(x)+(a_0x+a_1)(x-x_0)(x-x_1)···(x-x_n)
$$

Hermite余项：在某一结点有多少项就乘以多少次方。

$$
f(x)-H_n(x)=\frac{f^{n+1}(ξ)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^{n_1}(x-x_i)×\prod_{i=0}^{n_2}(x-x_i),n_1+n_2=n
$$

分段插值法

分段插值公式的单个区间的x只在区域内。因此可以计算得到误差的最大值、精度可以被划分区间长度限制、收敛性总能得到保证、修改数据点只有局部受影响。而Lagrange余项或插值公式并没有对x取值进行讨论。
分段线性插值：单个区间的误差<$\frac{1}{8}h_i^2$×这一段二阶导的最大值。
☆分段三次Hermite插值：单个区间的误差<$\frac{1}{384}h_i^4$×这一段四阶导的最大值。

重点应用

构造插值多项式求函数值

给数据表，计算Lagrange、Newton、Hermite插值多项式。（一般给的数据比较少），Newton插值多项式在x有规律地分布时是最好算的。
也可能是求x的值，把表反过来用就行。

由一个插值多项式推另一个

多半使用了承袭性。可以先看看之前的那个多项式是由哪些点推导而来的。如果单纯增加了导数，就Hermite插值多项式的承袭性；如果增加的是点，就用Newton差商的承袭性。后者比前者好算。

证明等式成立

多半用了差商的性质，结合其他的定义式。

证明一致收敛

把误差计算出来，如果在某条件下误差趋向0，说明一致收敛。（绝对值）

仅在选择、判断中出现的内容

Lagrange与Newton插值余项的比较

Lagrange余项要求f(x)有(n+1)阶导，Newton余项中含有f(x)。
Newton插值公式可改写成：

$$
N_n(x)=f(x_0)+f’(ξ_1)\varphi _1(x)+···+\frac{f^{(n)}(ξ_n)}{n!}\varphi _n(x),ξ∈[min(x_i),max(x_i)]
$$

Runge现象

大范围内使用高次插值，逼近效果往往并不理想。
Runge举例：在x=±5附近，$p_{10}(x)$偏离f(x)的程度远大于$p_5(x)$。

$$
f(x)=\frac{1}{1+x^2},-5≤x≤5
$$

分段插值法的缺憾

即使是分段三次Hermite插值，在插值节点处插值曲线也不够光滑，而且这种需要提供的信息很多。

样条插值和曲线拟合

样条插值：分段三次Hermite插值改进，为解决插值结点处曲线不够光滑。
最小二乘法：不要求所构造的逼近函数严格地通过给定的数据点，只是在某一函数类H中，以使残差的平方和最小为标准，作近似替代。主要讨论的是多项式拟合。

数值积分

基本概念

机械求积

定义：取一个合适的值作为积分区间的平均高度，再乘以积分区间的宽度，得到积分区间的面积。
应用：Newton-Cotes公式、中矩形公式等。
基本构造：令$A_i$为求积系数,$x_i$为求积结点，

$$
∫^b_af(x)dx≈\sum^n_{i=0}A_if(x_i)
$$

求积系数$A_i$的求解方法：
- 解线性方程组法：根据代数精度的定义，依次使f(x)=$1,x,x^2,x^3,···,x^m$，建立一系列等式，求出求积系数$A_i$。
- 插值法：用Lagrange插值多项式近似替代被积分函数，积分得到求积系数为$A_i=∫^b_al_i(x)dx$。对于已知的插值节点和常数a,b，$∫^b_al_i(x)dx$是常数。

代数精度

定义：如果求积公式对于一切次数小于等于m的多项式是准确的，而对于次数为m+1的某一多项式并不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。
证明方法：因为积分具有线性性，所以“准确成立”也具有线性性。证明m阶代数精度，只需要代入证明对$x^m$和$x^{m+1}$是否准确成立即可。即：

$$
∫^b_af(x)dx=\sum^n_{i=0}A_if(x_i),f(x)=x^k(k=0,1,···,m)
$$

性质：n+1个互异结点构造的求积公式的代数精度不低于n。

插值型的求积公式

定义：求积系数为$A_i=∫^b_al_i(x)dx$的求积公式。
性质：求积公式至少具有n次代数精度的充要条件是它是插值型的。

数值稳定性

定义：即计算结果可靠。一个算法，如果在执行它的过程中舍入误差在一定条件下能够得到控制，即舍入误差的增长不影响产生可靠结果，则称它是数值稳定的。
证明：计算总的舍入误差，若它是有上界的，则可称它是数值稳定的。

事后误差估计法

定义：直接用计算结果来估计误差的方法。

Newton-Cotes公式

定义：等距节点的插值型的机械求积公式。将积分区间分成(n+1)份。
n=1,2,4的Newton-Cotes公式常用：
- ☆梯形公式：1/2, 1/2
- ☆Simpson公式：1/6, 4/6, 1/6
- Cotes公式：7/90, 32/90, 12/90, 32/90, 7/90
- ☆三阶的Cotes系数为：1/8, 3/8, 3/8, 1/8
性质：
- 代数精度：因为是插值型，所以至少为n；且当n为偶数时，它的代数精度至少为n+1。由n+1阶多项式对应的余项做代换之后等于0证明。
- 数值稳定：n=8或之后不再具有数值稳定性，因为Cotes系数出现负数。总舍入误差可以写成与Cotes系数与(b-a)相关的。
- ☆截断误差：（由Lagrange插值多项式的余项积分得到）
  - 梯形公式：$R=-\frac{1}{12}(b-a)^3f’’(ξ),ξ∈[a,b]$；
  - Simpson公式：$R=-\frac{1}{90}(\frac{b-a}{2})^5f^{(4)}(ξ),ξ∈[a,b]$；
  - Cotes公式：$R=-\frac{8}{945}(\frac{b-a}{4})^7f^{(6)}(ξ),ξ∈[a,b]$；
- n<8时，有如下性质：(取f(x)=1可证)

$$
\sum^n_{i=0}C_i=\sum^n_{i=0}|C_i|=1
$$

复化求积法

原理：把区间分成n个小区间，在每个小区间上采用次数不高的插值多项式去替代被积函数，构造出相应的求积公式，然后把它们加起来作为整个积分区间上的求积公式。步长h=$\frac{b-a}{n}$。
确定重复被加的求积节点应作图。（见章末附图）
根据余项确定步长：
- ☆复化梯形公式：$|R_T|≤\frac{nh^3}{12}max[f’’(x)]$
- 复化Simpson公式：$|R_S|≤\frac{nh^5}{90}max[f^{(4)}(x)]$
- 复化Cotes公式：$|R_C|≤\frac{8nh^7}{945}max[f^{(6)}(x)]$
- 缺陷：求导麻烦、（用导数最大值）估计较保守。
☆递推法（二分法）确定步长（以梯形法为例）：
- 取n，近似计算$T_n$；
- 用$T_{n}$近似计算$T_{2n}$，其中$x_i$是二分新增的节点；

$$
T_{2n}=\frac{1}{2}T_n+(\frac{1}{2})^n[f(x_1)+f(x_2)+···+f(x_n)]
$$

判断$|T_{2n}-T_n|≤ε$是否成立，如果成立则表示$T_{2n}$满足精度要求。该判断误差的方法是一种事后误差估计法。

Romberg积分法

用误差来修正公式，由低精度求积公式的组合得到较高精度求积公式。它算法简单，收敛速度快。误差估计与Newton-Cotes公式截断误差同。
☆$S_n=\frac{4}{3}T_{2n}-\frac{1}{3}T_n；C_n=\frac{16}{15}S_{2n}-\frac{1}{15}S{n}；R_n=\frac{64}{63}C_{2n}-\frac{1}{63}C_n$。

重点应用

构造求积公式（例题有，课后习题没有）

由代数精度构造求积公式；
1. 设f(x)=$1,x,x^2,x^3,···,x^m$，代入求积公式构造式。
2. 解线性方程组，得到$A_i$。
由插值节点构造求积公式：
1. 列出插值基函数；
2. 计算插值基函数在区间内的积分，得到$A_i$。

求代数精度（详情见上）

计算截断误差，通过误差判断步长等

利用Taylor公式求截断误差；
利用（复化）Newton-Cotes公式结论求截断误差。

证明是插值型的

非常规，证明题：
- 确定插值结点，列出插值基函数；
- 分别对插值积分，对比求积系数，看是否相等，若均相等则为插值型。
常规并均分：对比Cotes系数。

常微分方程数值解法

基本概念

☆初值问题：求解$y’(x)=f(x,y),y(x_0)=y_0$方程组，满足Lipschitz条件则有唯一解。

$$
Lipschitz:|f(x,y)-f(x,{ \bar y})|\leq L|y-\bar y|,L\geq 0
$$

$y_n$：$y(x_n)$的近似值。$y(x_n)$是y(x)在$x_n$处的精确值。
显式递推公式等式右边没有$y_{n+1}$，隐式的有。
局部截断误差：
- 定义：假定在求$y_{n+1}$的递推公式中等式右边所有的量都是精确的，在此前提下的$y(x_{n+1})-y_{n+1}$。
- 计算方法：使用局部截断误差的定义和Taylor公式展开。
精度：局部截断误差为$O(h^{p+1})$，则称此方法精度为p阶。
收敛性：h→0(同时n→∞)时趋向于准确解$y(x_n)$。
- 收敛性定理：假设单步法具有p阶精度，且增量函数满足Lipschitz条件，且初值是准确的，则其整体截断误差为$O(h^p)$。
稳定性：误差的积累得到控制。
- 扰动：$\delta _n=\tilde y_n-y_n $。
- 隐式尤拉法无条件稳定。
整体截断误差：$|y(x_{n})-y_{n}|$可由局部截断误差反复递推得到。

近似递推公式

构造方法

一阶差商法

尤拉法（折线法）：向前差商，显式，单步，一阶；
隐式尤拉法：向后差商，隐式，单步，一阶；不能直接计算：
- 计算时化为显式；
- 预报-校正法：尤拉预报，隐式校正。
二步尤拉法（中心差商法）：中间差商，显式，二步，二阶。

解定积分法

原理：$∫^{x_{n+1}}{x_n}y’dx=y(x{n+1})-y(x_n)=hf(x_ξ,y_ξ)$。其中解定积分参考第三章。
梯形公式：
- $f(x_ξ,y_ξ)=\frac{f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y_{n+1})}{2}$。单步，隐式，二阶。
- 是尤拉法和隐式尤拉法的算术平均，计算量大。
改进的尤拉法：用预报-校正法改进梯形公式的结果。
- 嵌套形式：将预报值直接代入梯形公式中。
- 平均化形式：利用了梯形公式是尤拉法和隐式尤拉法的算术平均。
  
  这种形式更好观察几何意义。
  
  $y_p=y_n+hf(x_n,y_n)=y_n+hk_1;$
  
  $y_c=y_n+hf(x_{n+1},y_p)=y_n+hk_2;$
  
  $y_{n+1}=\frac{1}{2}(y_p+y_c)$。

龙格-库塔法

原理：
- 本质：构造$y(x_{n+1})=y(x_n)+hy’(ξ)$中$y’(ξ)$的近似替代。
- 方法：构造导数近似值，利用Taylor公式分析局部截断误差，求出导数近似值对应的参数的值。
一阶：比如用$y’(x_n)$的近似值替代$y’(ξ)$。
二阶：用$x_n$、$x_{n+1}$两点上的导数近似值的平均替代$y’(ξ)$。
- 改进的尤拉法：$\lambda =\frac 12,, p=1$；
- 变型的尤拉法（中点方法）：$\lambda =1,, p=\frac 12$；
- ☆构造：$\lambda p=\frac 12$。

$$
f(n)= \begin{cases} y_{n+1}=y_n+h((1-\lambda )k_1+\lambda k_2) \k_1=f(x_n,y_n) \ k_2=f(x_n+ph,y_n+phk_1) \end{cases}
$$

三阶：举例。

$$
f(n)= \begin{cases} y_{n+1}=y_n+\frac16(k_1+4k_2+k_3) \k_1=hf(x_n,y_n) \ k_2=hf(x_n+\frac 12h,y_n+\frac 12k_1) \k_3=hf(x_n+h,y_n-k_1+2k_2) \end{cases}
$$

☆四阶：
- Gill公式。
- 经典公式（标准4阶龙格-库塔公式）：

$$
f(n)= \begin{cases} y_{n+1}=y_n+\frac16(k_1+2k_2+2k_3+k_4) \k_1=hf(x_n,y_n) \ k_2=hf(x_n+\frac 12h,y_n+\frac 12k_1) \k_3=hf(x_n+\frac 12h,y_n+\frac 12k_2)\k_4=hf(x_n+h,y_n+k_3) \end{cases}
$$

性质：适用于求解范围大、精确度要求高的较光滑曲线求解。
变步长：
- 计算结果的偏差$△=\frac 1{2^p-1}|y_{n+1}^{(h/2)}-y_{n+1}^{(h)}|$；
- 在满足精度的要求下，步长尽量取大。

重点应用

解初值问题

不是算公式，是计算离散点的值。
计算时先把预报的值求出来，而不是直接把公式代入预报的公式。

求解计算公式的精度

主要是用泰勒公式，重点步骤(偏导和导数的关系)：

$$
f’_x(x_n,y_n)+f’_y(x_n,y_n)y’(x_n)=y’’(x_n)
$$

证明收敛性、稳定性

收敛性：证明满足Lipschitz条件；
稳定性：证明扰动可控。
- 假设一个扰动；
- 计算这个扰动在递推后得到的下一个扰动值；
- 令递推之后扰动的传播系数不超过1，得到稳定性条件；

仅在选择、判断中出现的

数值解法：能算出精确解y(x)在一系列离散节点上的近似解的方法。
二步尤拉法的缺陷：①计算局部截断误差时的附加限制条件不一定成立；②h足够小时，精度越高才能保证局部截断误差越小。

方程求根

基本概念

m重根：f(x)=$(x-x^＊)^mg(x),g(x^＊)\neq 0$。
隔根区间：区间内只有一个根的区间。
有根区间：区间内有根的区间。
局部收敛性：如果存在领域△:$|x-x^＊|\leq \delta$，迭代过程对于任意初值$x_0\in △$均收敛，则这种在根的邻近具有收敛性的收敛性称为局部收敛性。若$\varphi (x)$在$x=\varphi (x)$的根$x^＊$邻近有连续的一阶导数，且$|\varphi ‘(x)\leq k <1|$，k越小收敛得越快。
迭代速度（收敛速度）：迭代误差$\varepsilon k =x_k -x^＊ (k=0,1,···)$，对某个实数p与非零常数C，有$lim{k→∞}\frac{\varepsilon _{k+1}}{\varepsilon ^p_k}=C,C\neq 0$，则称{x$_k$}是p阶收敛的，p=1则是线性收敛，p>1是超线性收敛，p=2是平方收敛。p越大，收敛越快。

逐步搜索法

预定步长，按一定顺序看每一步上的导数值，直到确定根区间或遍历结束。

二分法

逐步搜索法的改进，只能求出一个根。二分看导数值。
适用于：一个边界异号的有根区间。
☆误差估计：$|x^＊-x_k|\leq \frac {1}{2^{k+1}}(b-a),k=1,2,···$

迭代法（逐步逼近的方法）

原理：将$f(x)=0$转换成$x=\varphi(x)$，如果$\varphi(x)$是收敛的，迭代结果是方程的根。
收敛性定理：设$\varphi (x)$在[a,b]上具有连续一阶导，且$\varphi (x)\in [a,b]$，存在正数L<1，使对任意$x\in [a,b]$，有$|\varphi ‘(x)|\leq L<1$，则唯一解，而且对任意$x_0$序列收敛。
☆误差估计：$|x^＊-x_k|\leq \frac {L^k}{1-L}|x_1-x_0|,k=1,2,···$。
收敛过程加速的原理：估计迭代结果的误差，并将误差估计加至迭代式中，则可能产生一个更好的求根迭代式。如Aitken加速，用了两次迭代改进。
牛顿法（又称切线法）：迭代函数根据导数变化。
- 构造：$x=x-\frac{f(x)}{f’(x)},(f’(x)\neq 0)$.
- 局部收敛性：若$x^＊$是方程f(x)=0的一个单根，并且f(x)在$x^＊$即附近有连续的二阶导数，则牛顿法具有局部收敛性。
- ☆收敛速度：若二阶导$f’’(x)\neq 0$，则平方收敛；
- 局限性：初值需要选取与根相近的。要保证$|\varepsilon _1|<|\varepsilon _0|$。
牛顿下山法：改进的牛顿法。
- ☆构造：$x_{n+1}=x_n-\lambda_n\frac{f(x_n)}{f’(x_n)},0<\lambda _n <1,\lambda$是下山因子。
- ☆下山条件：$|f(x_{k+1})|<|f(x_k)|$，令$\lambda$不断减半直到满足单调性条件。

重点应用

二分法求根并分析误差
证明迭代法的收敛性和收敛速度
对牛顿法进行误差分析

数值分析

引论

基本概念

有效数字位数的三种判定方法

有效数字与相对误差限的关系

误差限的估计公式

近似计算中的原则

保留位数原则

加减运算：小数位

乘除运算：有效数字

乘方与开方运算：有效数字

对数运算：有效数字

中间计算过程

原始数据选取

其他原则

重点应用

求误差限

算术运算

仅在选择、判断常见的内容

计算方法的研究方法

误差的来源（需要具备判断误差种类的能力）

为什么要引入误差限的概念？

插值方法

两个插值惟一性

Lagrange插值公式

Newton插值公式

Hermite插值

分段插值法

重点应用

构造插值多项式求函数值

由一个插值多项式推另一个

证明等式成立

证明一致收敛

仅在选择、判断中出现的内容

Lagrange与Newton插值余项的比较

Runge现象

分段插值法的缺憾

样条插值和曲线拟合

数值积分

基本概念

机械求积

代数精度

插值型的求积公式

数值稳定性

事后误差估计法

Newton-Cotes公式

复化求积法

Romberg积分法

重点应用

构造求积公式（例题有，课后习题没有）

求代数精度（详情见上）

计算截断误差，通过误差判断步长等

证明是插值型的

常微分方程数值解法

基本概念

近似递推公式

构造方法

一阶差商法

解定积分法

龙格-库塔法

重点应用

解初值问题

求解计算公式的精度

证明收敛性、稳定性

仅在选择、判断中出现的

方程求根

基本概念

逐步搜索法

二分法

迭代法（逐步逼近的方法）

重点应用